Hallo und herzlich willkommen zu der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Wir haben in der letzten Vorlesung das Lebesq-Maß erfolgreich konstruiert.

Das ist ja dieses hochgelobte Maß, also das von mir hochgelobte Maß, mit dem wir jetzt

weiterarbeiten wollen.

Und das werden wir heute benutzen dazu oder beziehungsweise das werden wir in der folgenden

Vorlesung dazu benutzen, das Lebesq-Integral einzuführen und auf dem Weg dahin werden

wir heute noch eine spezielle Klasse von Funktionen identifizieren.

Vorher aber vielleicht noch mal eine kleine Wiederholung bzw.

Nachtrag zum letzten Mal.

Wiederholung bzw.

eine kleine Bemerkung, was bei der letzten Vorlesung noch gefehlt hat.

Nämlich habe ich ja während der Vorlesung schon angemerkt, dass es eine Beziehung zwischen

Borel, der Borel-Sigma-Algebra, also dem Borel-Maß und der Lebesq-Sigma-Algebra, also dem Lebesq-Maß

gibt.

Und die will ich jetzt noch kurz anschreiben, nicht beweisen, nur anschreiben.

Das war es, das ist das folgende Lämmer.

Kurz zur Notation, was wir heute immer benutzen werden, also A von irgendeiner Menge, zum

Beispiel mit was wir heute viel arbeiten werden, das R hoch D ist die Lebesq-Sigma-Algebra,

also die Sigma-Algebra der Lebesq-Messbaren Mengen, wie wir sie eingeführt haben.

Und mit diesem Skript B, also ein bisschen ein stilisiertes B, bezeichnen wir jetzt

immer die Borel-Sigma-Algebra entsprechend auf den Mengen.

Nur hier kurz zur Notation, das wird heute öfter vorkommen.

Und das Lämmer ist dann, wenn eine Menge A aus der Lebesq-Sigma-Algebra ist, also die

Lebesq-Messbar ist, ist sie das genau dann, wenn es existiert eine Lebesq-Nullmenge.

Das haben wir das letzte Mal kennengelernt, das sind einfach Mengen, die im Lebesq-Mass

Null sind.

Kann man für ein beliebiges Maß Nullmengen uns anschauen.

Es existiert eine Lebesq-Nullmenge N und B aus der Borel-Sigma-Algebra, also eine Borel-Messbare

Menge.

Machen wir es mal gleich alles auf R hoch D, das ist nicht so schlimm, wir wollen eh

bloß auf R hoch D arbeiten.

Hier raus, sodass also einmal B geschnitten, N ist leer, die beiden sind disjunkt und A

ist gleich B vereinigt N.

Das ist die Relation.

Heißt, für jede Lebesq-Messbare Menge finden wir eine Nullmenge, sodass wir damit eine

Borel-Messbare Menge erhalten.

Was daraus sofort folgt aus diesem Lemma, also wir beweisen das nicht, aber wir werden

es benutzen.

Corolla ist natürlich sofort, wenn A Lebesq-Messbar ist, dann folgt daraus sofort, dass A auch

Borel-Messbar ist.

Wir sehen also, die Sigma-Algebra der Lebesq-Messbaren Mengen ist relativ groß.

Die ist deutlich größer sogar als die Menge der Borel-Sigma-Algebra.

Das werden wir heute benutzen, und zwar für das Kapitel, das jetzt kommt, oder der Abschnitt,

messbare Funktionen.

Was soll das sein?

Funktionen nennen.

Erinnern wir uns mal daran, wie ich das Maß überhaupt motiviert habe.

Und zwar war das damals die Geschichte, naja, wir haben irgendwie gesehen, der Riemann-Integralbegriff

ist nicht so toll, der ist ein bisschen einschränkend.

Wir wollen uns eine bessere überlegen.